電磁気学17 1/rのラプラシアン - ふぎゃはふ鳥捻り、または大序エブリデイズひーひー

$\Delta \phi = \nabla \cdot \nabla \phi = 0$

という形の方程式だった。 $\phi$ はスカラー場なので、遍くラプラシアンが0になるようなスカラー場を求める方程式である。いかにラプラシアンといえども所詮は2階微分、高校の増減表でやったように下に凸なら正になって、上に凸なら負になる雰囲気のやつだ。だから、ラプラシアンが0になるのは、一次関数（山なら平面的な斜面とか）や、変曲点や、あっち方向には下に凸だがこっち方向には同じだけ上に凸（即ち鞍点）、みたいな所だろう。

風の噂によれば、

$\begin{align} \phi = \frac{1}{r} \end{align}$

みたいな雰囲気のやつがこの方程式（といっても原点を除くので遍ねいてはないが）を満たすらしい。まあ一次元から調べてみよう。

一次元の場 $\begin{align} \phi(x)=\frac{1}{x} \end{align}$ (x>0)で、一次元の勾配（要するに傾き）

$\begin{align} \nabla \phi = \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right) \end{align}$

の発散

$\begin{align} \Delta \phi =\nabla \cdot \nabla \phi = \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) \cdot \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right) =\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \end{align}$

$\begin{align} \Delta \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{2}{x^3} \end{align}$

は確かに0に、なっとらんじゃん。たしかにグラフはどう見ても下に凸だもんな。一次元のラプラシアンはただの2階積分なめるので、一次元のラプラス方程式を満たすのは直線だけなんでしょう、きっと。

2次元とか3次元に行く前に、 $n$ 次元で使えそうな計算を前もってやっておく。例えば、

$\begin{align} \nabla r = \frac{\mathbf{r}}{r} = \hat{\mathbf{r}} \end{align}$

$\nabla \cdot \mathbf{r} = n \space (= \delta_{ii})$

また、対象が $r$ だけの関数のとき、

$\begin{align} \nabla = \nabla r \frac{d}{dr} = \hat{\mathbf{r}} \frac{d}{dr} \end{align}$

こいつらを用いて、2，3次元での $\begin{align} \phi(\mathbf{r})=\frac{1}{r} \end{align} \space (r \neq 0)$ のラプラシアンを求めよう。勾配は

$\begin{align} \nabla \phi = \nabla \frac{1}{r} = \hat{\mathbf{r}} \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}} \end{align}$

で、その発散は

$\begin{align} \Delta \phi = \nabla \cdot \nabla \phi = -\nabla \frac{1}{r^3} \cdot \mathbf{r} -\frac{1}{r^3} \nabla \cdot \mathbf{r} =-\hat{\mathbf{r}}\frac{d r^{-3}}{dr} \cdot\mathbf{r} - \frac{n}{r^3} = \frac{3}{r^3} - \frac{n}{r^3} \end{align}$