ノート：LQG 3

LQG

Maxwell方程式は、 c=\epsilon_0 = \mu_0 = 1 の単位系で


\begin{eqnarray} \epsilon^{ijk}\partial_j B_k - \partial_0 E^i &=& 4\pi J^i \\ \partial_i E^i &=& 4\pi J^0 \\ \epsilon^{ijk}\partial_j E_k +\partial_0 B^i &=& 0 \\ \partial_i B^i &=& 0 \\ \end{eqnarray}

ここで、 \partial_i = \partial / \partial x^i であり、電荷密度を J^0 と書き直した。
\partial, \space J の添え字を見ると、第1式と第2式、第3式と第4式はそれぞれ一つの式の場合分けであることが分かる。すなわち、反対称テンソル F_{\mu\nu} を、 F^{0j} = E^j, \space F^{ij} = \epsilon^{ijk} B_k となるように定めれば、前半の2式は


\begin{eqnarray} \partial_j F^{ij} + \partial_0 F^{i0} &=& 4\pi J^i \\ \partial_i F^{0i} &=& 4\pi J^0 \end{eqnarray}

添え字を0~3にして（ギリシャ文字で表す。1~3のときはラテン文字）、


\begin{eqnarray} \partial_\mu F^{\nu\mu} = 4\pi J^\nu \end{eqnarray}

と1つの式にまとまる。左辺は4元的な発散の形をしている。場のテンソル F_{\mu\nu} を具体的に書けば、


F_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\ E_1 & 0 & B_3 & -B_2 \\ E_2 & -B_3 & 0 & B_1 \\ E_3 & B_2 & -B_1 & 0 \end{array} \right)

これを用いて後半の2式を書き直すと、


\begin{eqnarray} \epsilon^{\sigma\mu\nu\lambda}\partial_\mu F_{\nu\lambda} = 0 \end{eqnarray}

ただし Levi-Civita因子 \epsilon^{\sigma\mu\nu\lambda} は添字が0, 1, 2, 3の偶置換の時に+1、（以下略）となるよう拡張。Levi-Civita因子はLorentz変換下で不変である。

例えば、電場を持ち、磁場を持たない静止電荷の系を考える。ここで我々が、その電荷が動いて見える座標系に移るならば、Lorentz力による磁場が発生する。これは、場のテンソルにLorentz変換 F^{\mu' \nu'} = {\Lambda^{\mu'}}_\mu {\Lambda^{\nu'}}_\nu F^{\mu\nu} を施せば求めることが出来る。ここに、Maxwell方程式


\begin{eqnarray} \partial_\mu F^{\nu\mu} &=& 4\pi J^\nu \\ \epsilon^{\sigma\mu\nu\lambda}\partial_\mu F_{\nu\lambda} &=& 0 \end{eqnarray}

がLorentz不変性をもつことが分かる。

静電ポテンシャル \phi とベクトルポテンシャル A^i は


\begin{eqnarray} E^i &=& -\partial^i \phi - \partial_0 A^i \\ B_k &=& \epsilon_{kij} \partial^i A^j \end{eqnarray}

のように場を与える。ここで4元ベクトルポテンシャルを


\begin{eqnarray} A^\mu = (\phi, A^i) \end{eqnarray}

とすると（ A_\mu = (-\phi, A_i) に注意）、 E^i = F^{0i} = -{F_0}^i = -F_{0i} = F_{i0} より、一つ目の式は


\begin{eqnarray} F_{i0} = \partial_i A_0 - \partial_0 A_i \end{eqnarray}

二つ目の式は両辺に \epsilon^{ijk} を掛けて、恒等式 \epsilon^{ijk} \epsilon_{jkl} = 2\delta^i_l を用いると、


\begin{eqnarray} \epsilon^{ijk} B_k &=& \epsilon^{ijk} \epsilon_{klj} \partial^l A^j \\ F^{ij} &=& 2\partial^i A^j \\ F_{ij} &=& \frac{1}{2}(F_{ij} - F_{ji}) = \partial_i A_j - \partial_j A_i \end{eqnarray}

よってこの2つをまとめると、電磁場は次のように与えられる。


\begin{eqnarray} F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \end{eqnarray}

この定義を見れば分かるように、電磁場はゲージ変換 A _\mu \rightarrow A_\mu + \partial_\mu \lambda（ \lambda は時空座標の任意関数）で一定に保たれる。