ノート：LQG 1

LQG

時空間内における点は事象(event)を表す。事象の間の不変距離 \Delta s は、


\Delta s^2 = -(\Delta t)^2 + (\Delta x^1)^2 + (\Delta x^2)^2 + (\Delta x^3)^2 = \eta_{\mu\nu}\Delta x^\mu \Delta x^\nu

で表される（ただし光速=1の単位系で）。 \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-1, 1, 1, 1) はMinkowski計量。
\Delta s^2はLorentz変換 x^{\mu '} = {\Lambda^{\mu '} }_{\mu} x^{\mu}の元で不変


\Delta s^2 = \eta_{\mu\nu}\Delta x^{\mu '}\Delta x^{\nu '}

角度 \theta の空間回転もLorentz変換の一種。また、等速推進（各座標軸の平行を保ったまま一定速度で移動している座標系への変換）も一種。
例： x^1 の向きに速度 v で等速移動する座標系に対しては


{\Lambda^{\mu '}}_\mu = \left ( \begin{array}{ccc} \cosh \phi & -\sinh \phi & 0 & 0 \\ -\sinh \phi & \cosh\phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) , \space \phi = \tanh^{-1}(v)

具体的に書くと、


t' = \gamma (t-vx) \\ x' = \gamma (x-vt) \\ where \space \gamma = 1/ \sqrt{1 - v^2}

これによって x=t は x'=t' に移る＝光速度不変（ c を陽に書けば、 x=ct \rightarrow x'=ct'）。

x=t は4次元時空内ではこれを回転させた4次元の円錐（光円錐）となる。この表面は原点と「光的に」隔たっており、不変距離 \Delta s^2=0。
\Delta s^2 >0 のとき、この点は光円錐の外側にあり、原点と「空間的に」隔たっている。
\Delta s^2 < 0 のとき、この点は光円錐の内側にあり、原点と「時間的に」隔たっている。特に、未来側の光円錐の内部にある点は、原点に対して因果的に結合している。