ノート：LGQ 2

LQG

\lambda をパラメータとする時空上の軌跡の曲線 x^\mu (\lambda) について、変換行列 \Lambda は \lambda に依らないので、


\begin{align} U^\mu := \frac{dx^\mu}{d\lambda} \end{align}

は座標と同じように変換するベクトル。
この曲線の長さを考えると、


\begin{align} \Delta l = \int \sqrt{\eta_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}} d\lambda \end{align}

ただし、これは根号の中身 \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu = ds^2 が正、即ち空間的(space-like)なときに限る。
逆に時間的(time-like)なとき、固有時間 \tau 、即ち


\begin{align} \Delta \tau = \int \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}} d\lambda \end{align}

が定義できる。静止している粒子の軌跡では \Delta \tau = \Delta t となる。

これを用いて、速度ベクトルは


\begin{align} U^\mu := \frac{dx^\mu}{d\tau} \end{align}

このベクトルのノルムの2乗は -1 に規格化されている。


\begin{align} \eta_{\mu\nu} U^\mu U^\nu = \frac{ \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu}{d\tau d\tau} = \frac{ -d\tau^2}{d\tau^2} = -1 \end{align}

また、Lorentz変換で不変な静止質量 m によって、4元運動量ベクトル


\begin{align} p^\mu = mU^\mu \end{align}

を定義できる。粒子が静止しているとき、 d\tau = dt \equiv dx^0 より p^\mu = (m, 0, 0, 0)。これを、前回の例での等速推進


\begin{align} t' = \gamma (t-vx) \\ x' = \gamma (x-vt) \end{align}

（ただし、 \gamma=1/\sqrt{1-v^2} ）によってLorentz変換すると（ t, x などを p^0, p^1 などで置き換えれば良い）、


\begin{align} p^{\mu '} = (\gamma m, -v\gamma m, 0, 0) \end{align}

v \ll 1=c での近似 \gamma \sim 1 + v^2 / 2 で3次以上を無視すると、


\begin{align} p^{\mu '} = \left(m+\frac{1}{2} mv^2, -mv, 0, 0 \right) \end{align}

低速度では4次元運動量の空間成分は古典的な運動量に等しい（推進する座標からみた静止粒子の速度は -v）。また、 mv^2 /2 は古典的な運動エネルギーであるので、それに加えられた項 m もエネルギーの項だが、上の式を見ればこれは静止座標系での質量のエネルギーであることが分かる。


\begin{align} E = mc^2 \end{align}

また、4元加速ベクトルを、


\begin{align} a^\mu = \frac{dU^\mu}{d\tau} \end{align}

とすれば、4次元版のNewtonの法則は、


\begin{align} f^\mu = ma^\mu \end{align}

である。ただし、 f^\mu は任意に与えることが出来ない。なぜなら、 \eta_{\mu\nu} U^\mu U^\nu = -1 より


\begin{align} \eta_{\mu\nu} \left(m\frac{dU^\mu}{d\tau}\right) U^\nu =\frac{m}{2} \frac{d}{d\tau} (\eta_{\mu\nu} U^\mu U^\nu) = 0 \end{align}

なので、4元速度と直交しなければならないからである。