2020-06-27

ノート：LGQ 4

LQG

経験則として、慣性質量と重力質量は等しい（等価原理）。これは高精度で検証されている。
これにより、重力場の効果を局所的には加速度をもつ座標系で模倣することが出来る。

ウッディが定規を持ってレコードプレーヤーの上に乗り、ディスクの円周と直径を測って円周率を求めるとする。このレコードが加速し、光速に近い速度に達したとき、定規がLorentz収縮することで円周の長さは長く測定される。しかし直径方向は速度と直交するため、静止時と同じ直径の値を得る。従って円周率は静止時より増える。
円周と直径の比が $\pi$ であるのは平坦な空間だけである。この意味で、加速系では空間が曲がってると言える。

一般相対性理論では、重力は空間の歪みとして表される。

曲がった時空における極めて近い2点間の距離は、

$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$

$g_{\mu\nu}$ は対称行列で、座標に依存する。
直線という概念がないため、曲線座標という座標系を用いることになる。ここでは、空間が平坦であるのかを直感的に知ることが出来ない。例えば、平坦な時空を極座標で表したもの

$\begin{eqnarray} ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2) \end{eqnarray}$

の計量はMinkowski計量 $\eta_{\mu\nu}$ にはならない。一般に、幾何が平坦ならば、いかなる計量も座標系の変換によって $\eta_{\mu\nu}$ にすることが出来るはずだ。しかし、そこから導かれる連立方程式は非線形であり、解くのは非常に難しい。

曲がった時空は、任意の点において局所的にベクトル空間と見なせる。
しかし、空間内の異なる点におけるベクトルは、別のベクトル空間に属しているため、混合できない。
ベクトルの微分は、近接する点の間で別種の量を比較するものである。点の近傍ではベクトルを考えることができるので、座標自体の差よりも座標の微分の方がベクトルとして扱いやすい。座標自体の変換は非線形で複雑だが、座標の微分の変換則は線形になる。

$\begin{eqnarray} dx^{\mu'} = {\Lambda^{\mu'}}_\mu dx^\mu, \space \space {\rm with} \space\space {\Lambda^{\mu'}}_\mu = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu} \end{eqnarray}$

従って、曲面座標におけるベクトルを、座標の微分の組のように変換する数の組として定義しておく。
下付添字をもつベクトルは、変換行列の逆行列によって変換する。

$\begin{eqnarray} A_{\mu'} = {\Lambda_{\mu'}}^\mu A_\mu, \space \space {\rm with} \space\space {\Lambda_{\mu'}}^\mu = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}} \end{eqnarray}$

一時的に $\Lambda$ 行列が座標に依存しないものと見なして両辺座標に関する微分をとると、

$\begin{eqnarray} \partial_\nu A_{\mu'} = {\Lambda_{\mu'}}^\mu \partial_\nu A_\mu \end{eqnarray}$

この左辺は新しい座標の量を古い座標で微分していて都合が悪いので、 $\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu'}}={\Lambda_{\nu'}}^\nu$ を左から作用させて連鎖律より

$\begin{eqnarray} \partial_{\nu'} A_{\mu'} = {\Lambda_{\nu'}}^\nu {\Lambda_{\mu'}}^\mu \partial_\nu A_\mu \end{eqnarray}$

これはベクトルの導関数がテンソルとして変換する式である。これは上の仮定のもとで成り立っており、曲線座標で成立しない。

これを修正して、対象とするベクトルに比例する（∵線形性）項を付け加えた共変導関数を考える。

$\begin{eqnarray} \nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma_{\mu\lambda}^\nu A^\lambda \end{eqnarray}$

$\nabla_\mu$ は共変微分の演算子。 $\Gamma_{\mu\lambda}^\nu$ は接続(connection)と呼ばれ、近傍の点を導関数の計算のために接続する役割をもつ。
接続は、計量と併せてはじめから用意される要素である。ただし、

$\Gamma_{\mu\lambda}^\nu = \Gamma_{\lambda\mu}^\nu$ 《捻れがない(torsion free)》
$\nabla_\sigma g_{\mu\nu} = 0$ 《計量両立性(metric-compatible)》

の2つを要求すれば、接続は計量から一意に与えられる。一般相対性理論で用いるRiemann幾何学においては、この要請は満たされる。Riemann幾何における、計量から接続を与える式は、

$\begin{eqnarray} \Gamma_{\mu\nu}^\lambda = \frac{1}{2} g^{\lambda\rho} (\partial_\mu g_{\rho\nu}+ \partial_\nu g_{\rho\mu}- \partial_\rho g_{\mu\nu}) \end{eqnarray}$

（Christoffelの公式）。Minkowski計量をもつ平坦な空間では接続係数が0になることがわかる。

接続はテンソルではない。

2020-06-27

ノート：LQG 3

LQG

Maxwell方程式は、 $c=\epsilon_0 = \mu_0 = 1$ の単位系で

$\begin{eqnarray} \epsilon^{ijk}\partial_j B_k - \partial_0 E^i &=& 4\pi J^i \\ \partial_i E^i &=& 4\pi J^0 \\ \epsilon^{ijk}\partial_j E_k +\partial_0 B^i &=& 0 \\ \partial_i B^i &=& 0 \\ \end{eqnarray}$

ここで、 $\partial_i = \partial / \partial x^i$ であり、電荷密度を $J^0$ と書き直した。
$\partial, \space J$ の添え字を見ると、第1式と第2式、第3式と第4式はそれぞれ一つの式の場合分けであることが分かる。すなわち、反対称テンソル $F_{\mu\nu}$ を、 $F^{0j} = E^j, \space F^{ij} = \epsilon^{ijk} B_k$ となるように定めれば、前半の2式は

$\begin{eqnarray} \partial_j F^{ij} + \partial_0 F^{i0} &=& 4\pi J^i \\ \partial_i F^{0i} &=& 4\pi J^0 \end{eqnarray}$

添え字を0~3にして（ギリシャ文字で表す。1~3のときはラテン文字）、

$\begin{eqnarray} \partial_\mu F^{\nu\mu} = 4\pi J^\nu \end{eqnarray}$

と1つの式にまとまる。左辺は4元的な発散の形をしている。場のテンソル $F_{\mu\nu}$ を具体的に書けば、

$F_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\ E_1 & 0 & B_3 & -B_2 \\ E_2 & -B_3 & 0 & B_1 \\ E_3 & B_2 & -B_1 & 0 \end{array} \right)$

これを用いて後半の2式を書き直すと、

$\begin{eqnarray} \epsilon^{\sigma\mu\nu\lambda}\partial_\mu F_{\nu\lambda} = 0 \end{eqnarray}$

ただし Levi-Civita因子 $\epsilon^{\sigma\mu\nu\lambda}$ は添字が0, 1, 2, 3の偶置換の時に+1、（以下略）となるよう拡張。Levi-Civita因子はLorentz変換下で不変である。

例えば、電場を持ち、磁場を持たない静止電荷の系を考える。ここで我々が、その電荷が動いて見える座標系に移るならば、Lorentz力による磁場が発生する。これは、場のテンソルにLorentz変換 $F^{\mu' \nu'} = {\Lambda^{\mu'}}_\mu {\Lambda^{\nu'}}_\nu F^{\mu\nu}$ を施せば求めることが出来る。ここに、Maxwell方程式

$\begin{eqnarray} \partial_\mu F^{\nu\mu} &=& 4\pi J^\nu \\ \epsilon^{\sigma\mu\nu\lambda}\partial_\mu F_{\nu\lambda} &=& 0 \end{eqnarray}$

がLorentz不変性をもつことが分かる。

静電ポテンシャル $\phi$ とベクトルポテンシャル $A^i$ は

$\begin{eqnarray} E^i &=& -\partial^i \phi - \partial_0 A^i \\ B_k &=& \epsilon_{kij} \partial^i A^j \end{eqnarray}$

のように場を与える。ここで4元ベクトルポテンシャルを

$\begin{eqnarray} A^\mu = (\phi, A^i) \end{eqnarray}$

とすると（ $A_\mu = (-\phi, A_i)$ に注意）、 $E^i = F^{0i} = -{F_0}^i = -F_{0i} = F_{i0}$ より、一つ目の式は

$\begin{eqnarray} F_{i0} = \partial_i A_0 - \partial_0 A_i \end{eqnarray}$

二つ目の式は両辺に $\epsilon^{ijk}$ を掛けて、恒等式 $\epsilon^{ijk} \epsilon_{jkl} = 2\delta^i_l$ を用いると、

$\begin{eqnarray} \epsilon^{ijk} B_k &=& \epsilon^{ijk} \epsilon_{klj} \partial^l A^j \\ F^{ij} &=& 2\partial^i A^j \\ F_{ij} &=& \frac{1}{2}(F_{ij} - F_{ji}) = \partial_i A_j - \partial_j A_i \end{eqnarray}$

よってこの2つをまとめると、電磁場は次のように与えられる。

$\begin{eqnarray} F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \end{eqnarray}$

この定義を見れば分かるように、電磁場はゲージ変換 $A _\mu \rightarrow A_\mu + \partial_\mu \lambda$ （ $\lambda$ は時空座標の任意関数）で一定に保たれる。

2020-06-25

ノート：LGQ 2

LQG

$\lambda$ をパラメータとする時空上の軌跡の曲線 $x^\mu (\lambda)$ について、変換行列 $\Lambda$ は $\lambda$ に依らないので、

$\begin{align} U^\mu := \frac{dx^\mu}{d\lambda} \end{align}$

は座標と同じように変換するベクトル。
この曲線の長さを考えると、

$\begin{align} \Delta l = \int \sqrt{\eta_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}} d\lambda \end{align}$

ただし、これは根号の中身 $\eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu = ds^2$ が正、即ち空間的(space-like)なときに限る。
逆に時間的(time-like)なとき、固有時間 $\tau$ 、即ち

$\begin{align} \Delta \tau = \int \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}} d\lambda \end{align}$

が定義できる。静止している粒子の軌跡では $\Delta \tau = \Delta t$ となる。

これを用いて、速度ベクトルは

$\begin{align} U^\mu := \frac{dx^\mu}{d\tau} \end{align}$

このベクトルのノルムの2乗は $-1$ に規格化されている。

$\begin{align} \eta_{\mu\nu} U^\mu U^\nu = \frac{ \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu}{d\tau d\tau} = \frac{ -d\tau^2}{d\tau^2} = -1 \end{align}$

また、Lorentz変換で不変な静止質量 $m$ によって、4元運動量ベクトル

$\begin{align} p^\mu = mU^\mu \end{align}$

を定義できる。粒子が静止しているとき、 $d\tau = dt \equiv dx^0$ より $p^\mu = (m, 0, 0, 0)$ 。これを、前回の例での等速推進

$\begin{align} t' = \gamma (t-vx) \\ x' = \gamma (x-vt) \end{align}$

（ただし、 $\gamma=1/\sqrt{1-v^2}$ ）によってLorentz変換すると（ $t, x$ などを $p^0, p^1$ などで置き換えれば良い）、

$\begin{align} p^{\mu '} = (\gamma m, -v\gamma m, 0, 0) \end{align}$

$v \ll 1=c$ での近似 $\gamma \sim 1 + v^2 / 2$ で3次以上を無視すると、

$\begin{align} p^{\mu '} = \left(m+\frac{1}{2} mv^2, -mv, 0, 0 \right) \end{align}$

低速度では4次元運動量の空間成分は古典的な運動量に等しい（推進する座標からみた静止粒子の速度は $-v$ ）。また、 $mv^2 /2$ は古典的な運動エネルギーであるので、それに加えられた項 $m$ もエネルギーの項だが、上の式を見ればこれは静止座標系での質量のエネルギーであることが分かる。

$\begin{align} E = mc^2 \end{align}$

また、4元加速ベクトルを、

$\begin{align} a^\mu = \frac{dU^\mu}{d\tau} \end{align}$

とすれば、4次元版のNewtonの法則は、

$\begin{align} f^\mu = ma^\mu \end{align}$

である。ただし、 $f^\mu$ は任意に与えることが出来ない。なぜなら、 $\eta_{\mu\nu} U^\mu U^\nu = -1$ より

$\begin{align} \eta_{\mu\nu} \left(m\frac{dU^\mu}{d\tau}\right) U^\nu =\frac{m}{2} \frac{d}{d\tau} (\eta_{\mu\nu} U^\mu U^\nu) = 0 \end{align}$

なので、4元速度と直交しなければならないからである。

2020-06-25

ノート：LQG 1

LQG

時空間内における点は事象(event)を表す。事象の間の不変距離 $\Delta s$ は、

$\Delta s^2 = -(\Delta t)^2 + (\Delta x^1)^2 + (\Delta x^2)^2 + (\Delta x^3)^2 = \eta_{\mu\nu}\Delta x^\mu \Delta x^\nu$

で表される（ただし光速=1の単位系で）。 $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-1, 1, 1, 1)$ はMinkowski計量。
$\Delta s^2$ はLorentz変換 $x^{\mu '} = {\Lambda^{\mu '} }_{\mu} x^{\mu}$ の元で不変

$\Delta s^2 = \eta_{\mu\nu}\Delta x^{\mu '}\Delta x^{\nu '}$

角度 $\theta$ の空間回転もLorentz変換の一種。また、等速推進（各座標軸の平行を保ったまま一定速度で移動している座標系への変換）も一種。
例： $x^1$ の向きに速度 $v$ で等速移動する座標系に対しては

${\Lambda^{\mu '}}_\mu = \left ( \begin{array}{ccc} \cosh \phi & -\sinh \phi & 0 & 0 \\ -\sinh \phi & \cosh\phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) , \space \phi = \tanh^{-1}(v)$

具体的に書くと、

$t' = \gamma (t-vx) \\ x' = \gamma (x-vt) \\ where \space \gamma = 1/ \sqrt{1 - v^2}$

これによって $x=t$ は $x'=t'$ に移る＝光速度不変（ $c$ を陽に書けば、 $x=ct \rightarrow x'=ct'$ ）。

$x=t$ は4次元時空内ではこれを回転させた4次元の円錐（光円錐）となる。この表面は原点と「光的に」隔たっており、不変距離 $\Delta s^2=0$ 。
$\Delta s^2 >0$ のとき、この点は光円錐の外側にあり、原点と「空間的に」隔たっている。
$\Delta s^2 < 0$ のとき、この点は光円錐の内側にあり、原点と「時間的に」隔たっている。特に、未来側の光円錐の内部にある点は、原点に対して因果的に結合している。

2020-06-10

あるナブラの計算

$\nabla (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$ の $i$ 成分は、

$\partial_i (u_j v_j) = v_j \partial_i u_j + u_j \partial_i v_j$

ここで、

$\partial_i u_j = \partial_i u_j - \partial_j u_i + \partial_j u_i = (\delta_{ia} \delta_{jb} - \delta_{ib} \delta_{ja}) \partial_a u_b + \partial_j u_i = \epsilon_{ijk} \epsilon_{abk} \partial_a u_b +\partial_j u_i$
$\therefore \partial_i u_j = [ \space _j \times (\nabla \times \mathbf{u}) + ( \space_j \cdot \nabla) \mathbf{u} ]_i$

これを最初の式に代入すると、

$\nabla (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{u}) + ( \mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{u} + \mathbf{u} \times (\nabla \times \mathbf{V}) + ( \mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{v}$

2020-06-01

Megurdi物理学1　線形性をもつ運動

ここに運動をする点があるとする。この点の上にくっついて、もう一つの点が（前者の点に相対して）静止していたとすると、後者の点は前者の点と等しい運動をしていると言える。前者の点の運動の様子を $A$ 、静止の様子を、後者の点による運動の様子の一種だとみて $O$ と示すと、上の主張は

$A + O = A$

と表すことが出来る。すなわち二項演算 $+$ を、第１項で表す運動をする点に相対して、その上に第２項で表す運動をする点があったとき、第１項の運動を計った時と同じ基準（絶対の基準とする）で見て第２項の運動の様子を返す演算子とする。

また、ここに運動する点があるとする。このとき、この点に相対して逆の運動をすることによって、絶対して静止する点がありえる。すなわち、

$\exists B, \space A + B = O$

この $B$ は $A$ に対して唯一に定まるので、 $-A$ と表記することにする。このほかに、運動の様子 $A, B, C$ は次を満たす。

$A + B = B + A$
$A + (B + C) = (A + B) + C$

また、ここに運動の様子 $A$ があるとして、 $A$ の上にさらに重ねて $A$ の運動をする運動が考えられる。この重ねた回数を $n$ 回だとして、

$A + A + \cdots + A = nA$

と表すこととする。この自然数の係数 $n$ を自然な拡張によって実数係数 $a, b$ として考えることができる。このとき、運動 $A, B$ について

$a(A+B) = aA + aB$
$(a+b)A = aA + bA$
$a(bA) = (ab)A$
$1A = A$

が成り立つ。

これまでに述べた諸題が成り立つことにより、運動の様子全ては、実数体上の線形空間であると言われる。個々の運動の様子はベクトルであると言われる。

2020-05-25

電磁気学18　Diracのデルタ関数

物理数学電磁気学

前回は $r \neq 0$ において、n次元で

$\begin{align} \Delta \left( \frac{1}{r} \right) = \frac{3-n}{r^2} \end{align}$

とくに大抵の人間が棲んでいる3次元空間では、

\begin{align}
\Delta \left( \frac{1}{r} \right) = 0
\end{align}

を示した。

今回なにがやりたいかというと、これの0を含むやつであります。
その前に、どういう意図でこの $1/r$ というのをやっているかというと、点電荷のポテンシャルを考えたいということなんですよ。点電荷って、点な訳で、体積がないということで、現実的な存在ではないんですね、ええ。現実じゃないということは、理想と言うことで（論理の飛躍）、実際、世の中の現実の電荷分布は、点電荷めいたものを足し合わせるという発想で捉えるわけです。だからここで $1/r$ をやってるんです。

さて、本題。この $r=0$ の点は、数学的にきもい点で、扱いづらいのですが、幸い、世の中には「性格は顔に表れる」という有名な理論があります（これを「カオス理論」というんですが）。内面は外に表れるのです。つまり、 $r=0$ を中心とするような球 $V$ （半径は $R$ とでもしておこう）を考えて、その球面を見れば、原点がどうなってるのかも分かる、ということです。

真面目な話、各点での湧き出しを空間全体で足し合わせると、

私の湧き出しをあなたが吸い込み、
あなたの湧き出しは彼が吸い込む

という感じで、表面以外では足してしまえばプラマイ0になるので、表面での外向き成分（すなわち $\hat{\mathbf{r}}$ 成分）を合計すれば全体の湧き出しになり申し候。数式では、

\begin{align}
\iiint_V \nabla \cdot \left( \nabla \frac{1}{r} \right) dV = \iint_{\partial V} \left( \nabla \frac{1}{r} \right) \cdot \hat{\mathbf{r}} dS
\end{align}

となり、場の微分 $\nabla$ が領域の微分 $\partial$ （意味は境界；この場合球面）になったみたいで良い感じある。
括弧の内側は、

\begin{align}
\nabla \left(\frac{1}{r} \right) = \nabla r \frac{d}{dr}\left( \frac{1}{r} \right) = -\hat{\mathbf{r}}\frac{1}{r^2}
\end{align}

なので、

\begin{align}
\iiint_V \Delta \left( \frac{1}{r} \right) dV = - \iint_{\partial V} \frac{1}{r^2} dS = - \frac{4\pi R^2}{R^2} = -4\pi
\end{align}

これが何を意味しているかというと、

$\begin{align} \Delta \left( \frac{1}{r} \right) \end{align}$ は、原点以外では $0$
$\begin{align} \Delta \left( \frac{1}{r} \right) \end{align}$ を原点以外も含めて積分すると $-4\pi$