2020-05-22

ギャテン語を作りたい2　Acrostatic

ギリシャ語ネスとラテン語ネスをくっつけたいという事なのだが、両言語の特徴としては印欧祖語のアプラウトのシステムが殆ど消失している点にある。今回からアプラウトをなくした印欧祖語の名詞を考えたいと思う。まずはAcrostaticという型から。

多音節語（子音(群)三つ、前からR+S+Eとする）

ノーマルAcrostaticは、強語幹（主格、呼格、対格）は RóSE-、弱語幹（斜格＝それ以外）はRéSE-となるタイプのアプラウトで、例として夜という意味の*nókʷ-t-sの主格(nom)、対格(voc)、属格(gen)、与格(dat)の変化をギリシャ語、ラテン語とともに表にしてみる。

格	印欧	希	拉
nom	nókʷts	nýx	nox
acc	nókʷtm̥	nýcta	noctem
gen	nékʷts	nyctós	noctis
dat	nékʷtey	nyctí	noctī

見て分かる通り、どちらの言語も強語幹に統一されている。そこで問題になるのが、主格と属格の区別になるが、どちらの言語でもoやiを挿入して区別している。
他の語でも同じような語尾の組み合わせなので、強語幹を採用し、アプラウトなし印欧語を以下に設定する。

	単数	複数
nom	RóSE-s	RóSE-es
voc	RóSE	RóSE-es
acc	RóSE-m̥	RóSE-m̥s
gen	RóSE-?s	RóSE-oHom
dat	RóSE-ey	RóSE-su
abl	RóSE-h₁	RóSE-?bʰi

ただし、どの語尾をどの格と結びつけるかは印欧祖語とは少し違っている。例えば、ラテン語の奪格(abl)は印欧祖語の具格由来の語尾だし、ギリシャ語の与格は印欧祖語の所格由来だ。今回、印欧祖語からの変更点は次の通り；

属格単数の語尾に、主格単数との区別用母音?を挿入
与格の複数に、所格複数の-suを採用（-mosよりも音のつながりが良いためでもある）
奪格に具格の語尾を採用し、連結用母音?を挿入

Narten型Acrostaticは、強語幹（主格、呼格、対格）は RḗSE-、弱語幹（斜格＝それ以外）はRéSE-となるタイプのアプラウト。ギリシャ語ラテン語ともに、強語幹を採用している。よってこれのアプラウト無し印欧語は、RóSE-をRḗSE-で置き換えたものとする。

語根名詞（子音2つ、RとEのみ）

例が少ないのでなかなか比べようがないが、上からSを除いたものと考えれば問題ないだろう。

2020-05-22

ギャテン語を作りたい1　モチーフ

言語ギャテン語

あの学術語って殆どラテン語かギリシャ語から来ているじゃないすか。
だったらギリシャ語ネスとラテン語ネスをミックスして新言語作ったら究極の学術語になる！という浅はか彰晃な発想が、ギャテン語で、あります。幸い世の中ではギリシャ語とラテン語の共通の祖先である印欧祖語の再建が行われているので、これを使わないわけにはいかのおすし。

というわけで、具体的な担当はこうします。

子音、文法：ラテン語
母音（半母音ywrlmn含む）、語彙：ギリシャ語

まあ多少のオリジナリテーは出させていただきますが。

2020-05-22

電磁気学17 1/rのラプラシアン

電磁気学物理数学

さて、ラプラス方程式は

$\Delta \phi = \nabla \cdot \nabla \phi = 0$

という形の方程式だった。 $\phi$ はスカラー場なので、遍くラプラシアンが0になるようなスカラー場を求める方程式である。いかにラプラシアンといえども所詮は2階微分、高校の増減表でやったように下に凸なら正になって、上に凸なら負になる雰囲気のやつだ。だから、ラプラシアンが0になるのは、一次関数（山なら平面的な斜面とか）や、変曲点や、あっち方向には下に凸だがこっち方向には同じだけ上に凸（即ち鞍点）、みたいな所だろう。

風の噂によれば、

$\begin{align} \phi = \frac{1}{r} \end{align}$

みたいな雰囲気のやつがこの方程式（といっても原点を除くので遍ねいてはないが）を満たすらしい。まあ一次元から調べてみよう。

一次元の場 $\begin{align} \phi(x)=\frac{1}{x} \end{align}$ (x>0)で、一次元の勾配（要するに傾き）

$\begin{align} \nabla \phi = \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right) \end{align}$

の発散

$\begin{align} \Delta \phi =\nabla \cdot \nabla \phi = \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) \cdot \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right) =\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \end{align}$

$\begin{align} \Delta \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{2}{x^3} \end{align}$

は確かに0に、なっとらんじゃん。たしかにグラフはどう見ても下に凸だもんな。一次元のラプラシアンはただの2階積分なめるので、一次元のラプラス方程式を満たすのは直線だけなんでしょう、きっと。

2次元とか3次元に行く前に、 $n$ 次元で使えそうな計算を前もってやっておく。例えば、

$\begin{align} \nabla r = \frac{\mathbf{r}}{r} = \hat{\mathbf{r}} \end{align}$

$\nabla \cdot \mathbf{r} = n \space (= \delta_{ii})$

また、対象が $r$ だけの関数のとき、

$\begin{align} \nabla = \nabla r \frac{d}{dr} = \hat{\mathbf{r}} \frac{d}{dr} \end{align}$

こいつらを用いて、2，3次元での $\begin{align} \phi(\mathbf{r})=\frac{1}{r} \end{align} \space (r \neq 0)$ のラプラシアンを求めよう。勾配は

$\begin{align} \nabla \phi = \nabla \frac{1}{r} = \hat{\mathbf{r}} \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}} \end{align}$

で、その発散は

$\begin{align} \Delta \phi = \nabla \cdot \nabla \phi = -\nabla \frac{1}{r^3} \cdot \mathbf{r} -\frac{1}{r^3} \nabla \cdot \mathbf{r} =-\hat{\mathbf{r}}\frac{d r^{-3}}{dr} \cdot\mathbf{r} - \frac{n}{r^3} = \frac{3}{r^3} - \frac{n}{r^3} \end{align}$